even2004： 粘弹性聚合物：将Maxwell模型转化为Prony Series
一般来说，在静水压力不是很大的情况下，聚合物材料的体积形变可视为弹性，而其剪切形变可视为粘弹性。一般采用Maxwell模型或Kelvin模型来研究线性粘弹性（Linear Viscoelasticy，虽然很简化，但却是应用Correspondence Principle的唯一选择)。下图所示的模型经验证可以表征大多数材料的长期蠕变行为（>2000S，体积变形弹性，剪切粘弹性，可参见拙作）。ABAQUS的粘弹性材料模型却只采用Prony Series来表征（ANSYS不仅包括Maxwell 模型，也包括Prony Series)，本人的一段简单的Matlab代码可将所示的Maxwell(Kelvin? ）模型转化为Prony Series 中的系数，各系数的含义可参见ABAQUS手册说明。
%By Zhang chunyu（g0306101@nus.edu.sg;chunyu79@hotmail.com)
%paramters of Maxell model
E0=2.82;%GPa
v0=0.41;%第二、三个泊松系数对计算基本无影响，故都取作v0；
E1=13.05;%GPa
y1=137.32;%GPa.s
E2=8.48;%GPa
y2=893.43;%GPa.s
y0=6500.19;%GPa.s
G0=E0/(2*(1+v0));
G1=E1/(2*(1+v0));
G2=E2/(2*(1+v0));
k0=E0/(3*(1-2*v0));
%下面通过Laplace变换计算蠕变柔量，pi,qi是中间变量
p1=(G0*G1*y2+G0*y0*G1+y0*G1*G2+G0*y1*G2+G0*y0*G2)/(G0*G1*G2);
p2=(G0*y0*y1+y0*G1*y2+G0*y1*y2+G0*y0*y2+y0*y1*G2)/(G0*G1*G2);
p3=(y0*y1*y2)/(G0*G1*G2);
q1=2*y0;
q2=(2*G0*y0*G1*y2+2*G0*y0*y1*G2)/(G0*G1*G2);
q3=2*y0*y1*y2/(G1*G2);
%解方程
c=[p3 p2 p1 1];
r=roots(c);
t1=-r(1);
t2=-r(2);
t3=-r(3);
h1=1/p3*(q1-q2*t1+q3*t1^2)/((t2-t1)*(t3-t1));
h2=1/p3*(q1-q2*t2+q3*t2^2)/((t1-t2)*(t3-t2));
h3=1/p3*(q1-q2*t3+q3*t3^2)/((t1-t3)*(t2-t3));
% parameters of Prony Series
%剪切形变：粘弹性
%体积形变：弹性，故k1,k2,k3均为0
GR0=h1+h2+h3%
g1=h1/GR0
k1=0
tao1=1/t1
g2=h2/GR0
k2=0
tao2=1/t2
g3=h3/GR0
k3=0
tao3=1/t3
经验证，数值结果和解析结果（由correspondence principle获得）完全相同。 |
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